粘度と速度勾配 — 壁面せん断応力の二つの因子

1-2前の記事で、壁面せん断応力は壁のすぐ内側の速度勾配だと書きました。正確には、粘度と速度勾配の掛け算です。

掛け算なので、どちらが動いても値が動きます。ここでは二つに分けて、それぞれが何で決まるのかを見ます。

すべりなし条件と境界層の厚さ

ホースの中を水が流れているとき、壁に触れている水はどうなっているでしょうか。

動いていません。流体は壁に対して滑らない——すべりなし条件といいます。ホースの内壁に汚れが溜まるのは、壁際の水がほとんど動いていないからです。

すると、壁での速度はゼロになります。少し内側では、それなりの速度で流れています。その間に急な傾きができます。

この傾きが集中している薄い層を境界層と呼びます。厚さは条件によりますが、大血管でも1ミリに満たないことがあります。

ここに実務上の含意があります。傾きが集中しているのは、この薄い層の中だけです。 血管の真ん中の速度をどれだけ細かく測っても、WSS は出てきません。必要なのは壁際の1〜2ボクセルの情報だけです。

そして、そこが最も測りにくい場所です。壁の位置そのものが輪郭抽出で決まり、その内側1ボクセルの速度は部分容積効果でぼやけます。4-4第4章と 6-2第6章で「壁際の分解能」が繰り返し出てくるのは、この一点に理由があります。

血液の非ニュートン性とせん断速度依存性

もう一つの因子、粘度に移ります。

水をスプーンでかき混ぜるとき、速くかき混ぜても遅くかき混ぜても、水の粘り気そのものは変わりません。こういう流体をニュートン流体といいます。

血液は違います。ゆっくり流れているとき、赤血球は連なって集合しやすく、粘度が上がります。速く流れて強くせん断されると、その連なりが崩れて粘度が下がります。せん断される速さによって粘度が変わる——これが非ニュートン流体です。ヘマトクリットが高ければ、粘度はさらに上がります。

ここから、少し落ち着かない事実が出てきます。低ずり領域では、粘度が上がる方向に働きます。

1-7第1章と 第2章第2章で扱う低 WSS の議論は、速度勾配が小さいことと粘度が大きいことの掛け算を見ていることになります。粘度を一定として計算していれば、その分だけ低ずり領域の WSS は実際とずれます。

下の図で、せん断される速さを動かしてみてください。

大血管の中心部（100〜1000 /s）では、実際の粘度は一定値とほぼ重なります。しかし低ずり域へ動かすと、粘度は一定値の数倍まで上がります。 低 WSS 領域を議論するとき、粘度を一定として計算していれば、その分だけ実際とずれることになります。

解析で仮定される粘度の値

多くの解析は血液をニュートン流体として、一定の粘度を置きます。ではその値はいくらか。

画像から解析までを26チームに任せた2015年の国際チャレンジ¹では、参加チームの設定が 3.5 と 4.0 cPoise にほぼ二分されました。13%の差です。形状を配って条件だけを自由にした 2013年のチャレンジ²でも、18グループの粘度は 3.5〜4.01 mPa·s に散っています。同じ症例を解いているのに、入力の一つがここで割れています。

2015年のチャレンジの著者らは、不要なばらつきを消すために 3.7 cPoise・密度 1.06 g/cm³ に統一することを推奨しています。値そのものが正しいかという議論ではなく、揃えれば消える差を残すなという主張です。

非ニュートン性をあえて入れない選択にも理由があります。冠動脈 CFD の不確かさを定量した研究³は、非ニュートン模型を入れると分布が確立していないパラメータが増えるため、血液をニュートン流体として扱ったと明記しています。不確かさを定量する目的では、模型を増やすほうが不利になる場合があるという判断です。

壁面せん断応力の報告に必要な条件

WSS の値を報告するとき、この記事から出てくる要求は四つです。

• 仮定した粘度の値
• ニュートンか非ニュートンか
• 非ニュートンならどのモデルか
• 壁際に格子を何層取ったか、あるいはボクセルが何個入っているか

この四つが書かれていない報告は、WSS の値を比べる相手になりません。定義の問題ではなく、掛け算の両方の因子が不明だからです。

1-4次の記事では、この量が実際にどのくらいの値になるのかを見ます。桁の感覚を持っておくと、自分の計算結果が妥当な範囲にあるかを一次判定できます。