壁を擦る力を数値にする

壁面せん断応力とは、壁のすぐ内側の速度勾配です。定義を式で読むより、値を動かして傾きが変わるのを見たほうが速く掴めます。

流れが壁に及ぼす力は、二つの向きに分けられます。壁を垂直に押す成分（圧力）と、壁に沿って擦る成分です。後者を面積で割った量がせん断応力で、血管壁で考えるときは壁面せん断応力（WSS: Wall Shear Stress）と呼びます。

定義は一行です。壁のすぐ内側の速度勾配に、血液の粘度をかける。

傾きを動かしてみる

言葉だけでは掴みにくいので、実際に動かしてみてください。下の図は円管の中の層流です。流量、内半径、粘度をスライダで変えると、速度プロファイルの形が変わります。

赤い線が壁での接線、つまり壁面せん断応力そのものです。

円管内の層流（Hagen-Poiseuille）。青が速度プロファイル、赤が壁での接線。流量を上げるか半径を細くすると傾きが立ち、壁面せん断応力が上がる。教科書どおりの理想化で、実際の血管は拍動し曲がり分岐する。

触ってみると分かることがいくつかあります。

流量を上げれば傾きは立ちます。 これは直感どおりです。

半径を細くしても傾きは立ちます。 しかもこちらのほうが効きます。同じ流量なら、半径を半分にすると壁面せん断応力は8倍になります。式の上では τ = 4μQ/(πR³) で、半径の3乗が分母に来るからです。血管が細くなることが壁への負荷を大きく変える、というのはここから来ています。

粘度を上げれば傾きは同じでも応力は上がります。 粘度は掛け算の係数なので、値の絶対値をそのまま動かします。後の章で出てきますが、粘度は測定されることが稀で、たいてい文献の代表値が仮定されます。この一点が、計算した壁面せん断応力の絶対値をどこまで信じられるかに直結します。

この定義には、避けられない性質が組み込まれています。壁の位置と、その近傍の速度が分かっていないと計算できない、ということです。

壁の位置は、画像から内腔を抽出したときの閾値で決まります。閾値が変われば壁が動きます。近傍の速度は、ボクセルという有限の大きさの箱で測った平均値です。箱が大きければ、傾きは緩く出ます。

上の図で半径を細くしていくと、傾きが急になる様子が見えます。この急な部分を、粗い箱で測ったらどうなるか。それが第4章と第6章の主題になります。

まず先に、この量がどのくらいの値をとるのかを押さえます。