4v² は何を数えていないのか

4v² の 4 は ½ρ を mmHg に直した係数です。この式が見ているのは狭窄部までの落差で、その先で戻ってくる分は差し引かれていません。

大動脈弁狭窄の評価に使われる簡易ベルヌーイ式は、ΔP = 4v² という形をしています。v は最大流速（m/s）、ΔP は圧較差（mmHg）です。

4 という数字の出どころ

この 4 は経験的な係数ではありません。ベルヌーイの式の動圧項 ½ρv² を mmHg に換算した結果です。

血液の密度を 1060 kg/m³、1 mmHg を 133.3 Pa とすると、

½ × 1060 × v² ÷ 133.3 ≒ 3.98 v²

これを 4 に丸めたものです。つまり 簡易ベルヌーイ式は、運動エネルギーの増加分がそのまま圧力の低下分になる、という理想化された関係そのものです。

理想化のために落ちているものが二つあります。

ひとつは粘性による散逸。流体が変形するときに熱として失われる分です。

もうひとつが圧力回復。狭窄部を過ぎて流れが広がると、速度が落ちる代わりに圧力が戻ります。心室にかかっている実際の負荷は、戻らなかった分——非可逆圧力損失——だけです。

下の図で確かめてください。狭窄部の面積比と上流の流速を変えると、「4v² が見る落差」と「実際に残る落差」が別々に動きます。

狭窄部を通る圧力の変化。赤線が圧力、青帯が回復した分。4v² は上流からのどまでの落差を見ており、下流で戻る分は差し引かれていない。急拡大の理想化した1次元模型で、乱れの散逸や壁の摩擦は含まない。

触ってみると分かることがあります。

狭窄が軽いほど、過大評価の倍率は大きくなります。 面積比を 0.5 付近にすると、4v² は実際に残る落差の4倍近くを示します。逆に面積比を 0.1 まで絞ると、倍率は 1.2 程度まで下がります。強い狭窄では回復する余地が小さいからです。

つまり、簡易ベルヌーイ式が最も外すのは軽度から中等度の狭窄ということになります。重症判定が問題になるのはまさにその領域です。

ここから要求が二つ出ます。

戻らなかった分だけを測りたい。 圧力回復を差し引いた、非可逆な損失。

1点の最大流速ではなく、流速場全体を使いたい。 最大流速1点では、どこでどれだけ失われたかが分かりません。

3次元の速度場が得られるなら、この二つは原理的に可能です。次の記事から、実際にそれを行った三つの手法を順に読みます。乱れのエネルギーとして数える方法、粘性散逸として数える方法、そして圧力そのものを再構成する方法です。